Supongamos que deseamos modelar el crecimiento de una población de animales en función del tiempo. Podemos utilizar una ecuación de primer orden para describir este proceso de la siguiente manera:

    dPdt=r⋅P\frac{dP}{dt}= r \cdot P
    Donde: \newline - dPdt\frac{dP}{dt} representa la tasa de cambio de la población con respecto al tiempo (la tasa de crecimiento de la población). \newline - P es la población en un momento dado. \newline - r es la tasa de crecimiento de la población.Esta ecuación es una forma simple de describir el crecimiento de una población en función de su tamaño actual (P) y la tasa de crecimiento (r). \newline La solución de esta ecuación diferencial depende de las condiciones iniciales (el valor de P en un tiempo inicial) y puede variar según el contexto específico de la población que estés estudiando.
    Ejemplo P(t)=C1⋅ertP(t) = C_1 \cdot e^{rt}, es la solución general de la ecuación diferencial dPdt=r⋅P\frac{dP}{dt} = r \cdot P \newline \newline - (P(t))(P(t)) representa la población en un momento (t)(t). \newline - (C1)(C_1) es una constante de integración que se determina a partir de una condición inicial específica. Esta constante refleja la población inicial (P0)(P_0) en (t=0)(t = 0), pero necesitas una condición inicial adicional para calcular su valor exacto. \newline - (0.1)(0.1) es la tasa de crecimiento (r)(r), que en este caso es igual a (0.1)(0.1) o (10(10%) por unidad de tiempo. \newline - (e)(e) es la constante matemática de Euler, aproximadamente igual a (2.71828)(2.71828). \newline Para calcular la población en un momento específico (t)(t), debes proporcionar una condición inicial. Por ejemplo, si tienes una población inicial de (P0=10)(P_0 = 10) en (t=0)(t = 0), puedes usar esta condición para encontrar el valor de (C1)(C_1): \newline [P(0)=C1⋅e0.1⋅0=C1⋅e0=C1⋅1=C1][P(0) = C_1 \cdot e^{0.1 \cdot 0} = C_1 \cdot e^0 = C_1 \cdot 1 = C_1] \newline Por lo tanto, si (P0=10)(P_0 = 10), entonces (C1=10)(C_1 = 10), y la solución específica para tu caso sería: \newline [P(t)=10⋅e0.1t][P(t) = 10 \cdot e^{0.1t}] \newline Con esta solución, puedes calcular la población en cualquier momento (t)(t) que desees. Por ejemplo, para calcular la población después de 5 años, simplemente sustituye (t=5)(t = 5) en la ecuación: \newline [P(5)=10⋅e0.1⋅5][P(5) = 10 \cdot e^{0.1 \cdot 5}]